円周上に点A, B, Cがあり、円の中心をOとする。$\angle ACO = 72^\circ$のとき、$\angle ABO = x$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, Cがあり、円の中心をOとする。$\angle ACO = 72^\circ$のとき、$\angle ABO = x$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形OACに注目します。

OAとOCは円の半径なので、$OA = OC$です。したがって、三角形OACは二等辺三角形です。

二等辺三角形の底角は等しいので、$\angle OAC = \angle OCA = 72^\circ$ です。

三角形OACの内角の和は180°なので、$\angle AOC = 180^\circ - \angle OAC - \angle OCA$ を計算します。

$\angle AOC = 180^\circ - 72^\circ - 72^\circ = 36^\circ$

次に、円周角の定理を利用します。

円周角の定理より、$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$　です。

$\angle ABC = \frac{1}{2} \times 36^\circ = 18^\circ$

三角形OABに注目します。OAとOBは円の半径なので、$OA = OB$です。したがって、三角形OABは二等辺三角形です。

二等辺三角形の底角は等しいので、$\angle OAB = \angle OBA = x$ です。

$\angle ABO = x$であるから、$\angle ABC = \angle ABO = x$ 、$\angle OBC = 0^\circ$

また三角形ABOの内角の和は180°なので、$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$

$\angle AOB$を求める。

$\angle AOB = 180^\circ - 2 \times x$

$\angle AOB = 180^\circ - 2x$

$\angle AOC + \angle AOB = \angle BOC$

$\angle BOC$は直径なので $180^\circ$

$36^\circ + 180^\circ - 2x = 180^\circ$

$36^\circ = 2x$

$x = 18^\circ$

3. 最終的な答え

18°