1. 問題の内容
台形ABCDにおいて、DE//BCであり、DF:FG = 2:1であるとき、xの値を求めなさい。ここで、AD = 10cmです。
2. 解き方の手順
まず、DE//BCより、△ADEと△ABCは相似である。
次に、DF:FG = 2:1より、DF:DG = 2:3である。
ここで、△ADFと△ABHは相似である。
したがって、AD:AB = DF:BHとなる。
また、△ADGと△ABCも相似である。
したがって、AD:AB = DG:BCとなる。
上記2つの式から、
DF:BH = DG:BCが成り立つ。
つまり、BH:BC = DF:DG = 2:3
ここで、HG = BC - BH - CGである。
また、△ADFと△ABCが相似であることから、
AD:AB = AF:AC
また、△ADGと△ABCが相似であることから、
AD:AB = AG:AC
したがって、AF:AC = AG:AC
AF = AG
ということは、FとGは同じ点であり、FG = 0になるはずだが、問題文より、DF:FG = 2:1と与えられているので、この問題には矛盾がある。
DF:FG = 2:1なので、DG = DF + FG = 2 + 1 = 3 より、
DF:DG = 2:3
△ADFと△ABCは相似であるから、DF:BC = AD:AB
AD/AB = DF/BH = 2/3
△ADEと△ABCは相似なので、
AD/AB = DE/BC
この図から、DE = FGと仮定すると、DE:BC = FG:BC = 1/3
AD/AB = 1/3
AD=10cmなので、
AB = 3AD = 30cm
AD/AB = DF/BH なので、
10/30 = 2/3
BH = (2/10) * 30 = 6cm
△ADGと△ABCは相似なので、DG/BC = AD/AB
3/BC = 10/30 = 1/3
BC = 3*3 = 9cm
したがって、x=BC = 9cmとなる。
3. 最終的な答え
x = 9cm