三角形ABCにおいて、$AD = DB$、$AE = EC$、かつ$DF:FG = 4:5$であるとき、$x$の値を求めなさい。ただし、$BC = 32cm$、$FG=x$です。

## 解答

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AD = DB$、$AE = EC$、かつ$DF:FG = 4:5$であるとき、$x$の値を求めなさい。ただし、$BC = 32cm$、$FG=x$です。

2. 解き方の手順

まず、$AD = DB$、$AE = EC$であることから、線分DEは三角形ABCの中点連結定理により、線分BCと平行であり、かつ$DE = \frac{1}{2}BC$であることがわかります。

$DE = \frac{1}{2} \times 32 = 16cm$です。

次に、線分DEと線分BCが平行であることから、三角形ADFと三角形ABH、三角形AEGと三角形AECがそれぞれ相似になります。

また、線分FGは線分DEと線分BCの間にあり、線分DEと線分BCに平行です。

$DF:FG = 4:5$という条件から、$DG : GC = DF:FG = 4:5$と考えてよいでしょう。

ここで、DからBCに平行な線を引き、ACとの交点をE'とおくと、DE'は中点連結定理により、BCの半分になるはずです。

同様に、FからBCに平行な線を引き、ACとの交点をG'とおくと、FG'はDEとBCの間にある平行線になります。

いま、$DF : FG = 4:5$、$DE = 16cm$、$BC = 32cm$です。

ここで、$DF : DG = 4 : 9$となることに注意してください。

三角形ADEと三角形AFGの相似比はAD:AFとなります。

また、三角形AFGと三角形ABCの相似比はAG:ACとなります。

また、$DE : FG = \frac{BC}{2} : x = 16 : x$であり、$DF:FG = 4:5$であることから、

$FG:DE = x:16$

$FG:BC=x:32$

求めるxは線分FGの長さなので、

$FG = \frac{5}{4+5} \times DE = \frac{5}{9} \times 16$ではありません。

三角形ABCにおいて、線分DEはBCの半分で16cmです。線分DEと線分BCの間にあるFGの長さxは、$DE < x < BC$になります。

線分DEと線分BCが平行なので、三角形ADFと三角形ABHが相似であり、三角形AEGと三角形AECが相似です。

$DF:FG = 4:5$より、$FG = x$とすると、$DF = \frac{4}{5}x$

三角形ADFと三角形ABHが相似より、$AD:AB = DF:BH$

三角形AEGと三角形AECが相似より、$AE:AC = EG:GC$

$AD = DB$より、$AD:AB = 1:2$

$AE = EC$より、$AE:AC = 1:2$

従って、$DF:BH = EG:GC = 1:2$

$BH = GC = \frac{1}{2} BC = \frac{32}{2} = 16$

$BC = BH + HG + GC = 32$

$HG = x$

$BH+GC = 32 - x$

$BH = GC = \frac{32 - x}{2}$

しかし、$DE=\frac{1}{2}BC$より、$BH=\frac{1}{2}BC$とは限らないので、上記は間違えです。

ここで、メネラウスの定理を利用します。

直線BHが三角形ADEを切断するので、$\frac{AB}{BD} \times \frac{DH}{HA} \times \frac{AE}{EC} = 1$

$AD=DB$、AE=ECなので、

$\frac{2}{1} \times \frac{DH}{HA} \times \frac{1}{1} = 1$

$\frac{DH}{HA} = \frac{1}{2}$

$AH = 2DH$

したがって、$AD = DH + HA = DH + 2DH = 3DH$

$AD = \frac{4}{5}x + x = \frac{9}{5}x$

$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{FG} = \frac{AE}{EC} = \frac{16}{32}$

FG:BC = AF:AC = 5:9

x:32 = 5:9

9x = 160

x = 160/9

3. 最終的な答え

$x = \frac{160}{9}$