三角形ABCにおいて、AD = DB, AE = EC, DF:FG = 4:5 である。BC = 32cm のとき、HG = x cm の値を求めよ。
2025/5/6
1. 問題の内容
三角形ABCにおいて、AD = DB, AE = EC, DF:FG = 4:5 である。BC = 32cm のとき、HG = x cm の値を求めよ。
2. 解き方の手順
まず、DEはBCと平行であることがわかる。なぜなら、AD = DB, AE = EC より、中点連結定理からDEはBCの半分となるから。したがって、三角形ADEと三角形ABCは相似である。
次に、DF:FG = 4:5なので、DG:DF = (4+5):4 = 9:4 となる。
また、DEとBCが平行なので、三角形DFGと三角形BHGは相似である。
したがって、DG:BG = DF:BH = FG:HG となる。
ここで、BC = 32 cm, HG = x cm である。
DB = AD, AE = EC より、D, E はそれぞれAB, ACの中点なので、DE = (1/2)BC = (1/2) * 32 = 16 cm となる。
また、DEはBCと平行なので、DF:FG = 4:5 より、
BH:HG = DF:FG = 4:5 が成り立つ。したがって BH = (4/5)x。
同様に、HG:GC = DF:FG = 5:4 が成り立つ。したがって GC = (4/5)x。
BH + HG + GC = BC なので、
(4/5)x + x + (5/4)x = 32
(16x + 20x + 25x) / 20 = 32
61x = 32 * 20
x = 640/61
HG = x cm
BG = BH + HG = (4/5)x + x = (9/5)x
CG = HG + GC = x + (5/4)x = (9/4)x
BC = BG + GC = (9/5)x + (9/4)x = 32
(36x + 45x) / 20 = 32
81x = 32 * 20
x = 640/81
DE は BC と平行で、DE = 16cm
また DF:FG = 4:5
ΔDFG ~ ΔBHG なので
DF:BH = FG:HG = 4:5
FG:HG = 5:x
BH:HG = 4:x
ここで FG + HG = CG であり、CG:GC = FG:BC なので
5:x = DE:HG
BH + HG + CG = BC = 32
BH = (4/5)x
(4/5)x + x + CG = 32
ΔADE ~ ΔABC で AD = DB, AE = EC なので、BH = CG
(4/5)x + x + (4/5)x = 32
(4x + 5x + 4x)/5 = 32
13x = 160
x = 160/13
三角形ABCにおいて，点D，Eはそれぞれ辺AB，ACの中点であるから，線分DEはBCに平行で，DE=BC/2=16．
また，線分DEと線分BGとの交点をFとすると，DF:FG=4:5である．
ここで，三角形DFGと三角形BHGは相似であるから，
HG:CG=DF:BG=5:xよりx=5/4 * GC
BH = (4/5)x
BC = BH + HG + GC = (4/5)x + x + CG = 32
中点連結定理からBH=CG
BC = (4/5)x + x + (4/5)x = (13/5)x = 32
x = 32 * (5/13) = 160/13
3. 最終的な答え
x = 160/13