三角形 ABC において、AD = DB、AE = EC、EF : FB = 3 : 4 のとき、線分FG の長さを x cm とすると、線分 BG の長さが24 cm である。このとき、x の値を求めなさい。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、AD = DB、AE = EC、EF : FB = 3 : 4 のとき、線分FG の長さを x cm とすると、線分 BG の長さが24 cm である。このとき、x の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、点D, E がそれぞれ線分 AB, AC の中点であることから、線分 DE は線分 BC に平行で、長さは BC の半分であることがわかる。これは三角形の中点連結定理による。

よって、$DE = \frac{1}{2}BC$ である。

次に、EF : FB = 3 : 4 であるから、EF : EB = 3 : (3+4) = 3 : 7 である。

三角形 AEF と三角形 ABC は相似であり、相似比は AE : AC = 1 : 2 である。

また、三角形 EFB と三角形 CBG は相似であり、相似比は EF : BC である。

ここで、$DE \parallel BC$ より、$\angle AEF = \angle ABC$ となる。

また、$EF:FB = 3:4$ より、$EF = \frac{3}{7}EB$ である。

同様に、$BG = 24$ である。

三角形 EFB と三角形 CBG の相似比を求めるために、線分比 EF : BC を計算する。

$\frac{EF}{BC} = \frac{EF}{2DE}$ を考える。

ここで、$\frac{EF}{EB} = \frac{3}{7}$ である。また、$\frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}$ より、$BC = 2DE$ となる。

$\frac{EF}{BC} = \frac{EF}{2DE} = \frac{EF}{2 \cdot \frac{1}{2}BC} = \frac{EF}{BC}$

三角形 AEF と三角形 ABC の相似比は AE/AC = 1/2 なので、

EF/BC = AE/AC * (EF/AE) / (BC/AC)

= 1/2 * (EF/AE)/(1/2) = EF/AE

線分 AE = EC なので、AE:AC = 1:2

EF:BC = AF:AB

$EF/BC = EF/BC = (3/7)EB/BC = \frac{3}{7}$ となる。

したがって、$EF:BC = \frac{EF}{BC} = \frac{3}{7}$

よって、三角形 EFB と三角形 CBG の相似比は $\frac{EF}{BC} = \frac{3}{7}$ である。

これより、$FB:BG = EF:CG$ となるので、$EF = (3/7)CB$

また、 $FG:CG = EB:BC$より $CG/BG=EF/BF =3/4$より$CG = \frac{3}{4} BG = \frac{3}{4} *24 = 18$

求める x は、FG の長さであるので、

$FG = CG - CF$

三角形 EFB と三角形 CBG の相似比が 3:4 より，$FG/BG = 3/4$

より，$FG= \frac{3}{4} BG$

したがって、$BG=24$ より、 $FG= \frac{3}{4}*24=18$

よって $x = 18$

3. 最終的な答え

18