三角形ABCにおいて、AD=DB、AE=EC、DF:FG=5:6である。BC=15cmのとき、線分BGの長さxを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AD=DB、AE=EC、DF:FG=5:6である。BC=15cmのとき、線分BGの長さxを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、DEは三角形ABCの中点連結定理より、BCに平行である。

したがって、三角形DFBと三角形GBCは相似である。

DF:FG = 5:6なので、DF:DG = 5:(5+6) = 5:11である。

DB:AB = 1:2である。

三角形DFBと三角形GBCの相似比は、DF:GCではなくDB:BGに注目する。

ここで、DE//BCより、

$\frac{DF}{GC} = \frac{BF}{FC}$

$\frac{BD}{AB} = \frac{1}{2}$ なので、$DE = \frac{1}{2}BC$

また, $DE // BC$ なので, $\triangle DFE \sim \triangle BGC$

したがって、$DF:BG = DB:AB$ ではないことに注意する。

$DE = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 15 = 7.5$

$DF:FG=5:6$なので、$DF = 5k$、$FG = 6k$とおける。

この時、$DG = 11k$

$\triangle ADF$と$\triangle ABG$において、$DF \parallel BG$なので、$\frac{DF}{BG} = \frac{AF}{AG} = \frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$

$\frac{DF}{BG}=\frac{5k}{x}$

$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$

$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$かつ$\frac{DF}{BG} = \frac{AF}{AG}$より、$BG = x$

$AF:AG = AF:(AF+FG) = AF:(AF+6k)$

$DE//BC$なので、$\triangle ADF \sim \triangle ABG$ではない。

したがって、$DB:BC = DF:FC$ではない。

$BG = x$

$BC = 15$

$DF:FG = 5:6$

$AD = DB$、 $AE = EC$より、DE//BC

$\frac{DF}{BG}$は$\frac{AF}{AG}$である。

$DE = \frac{1}{2} BC = \frac{15}{2}=7.5$

$DF:FG = 5:6$

$FG = x$

$BC=15$

$\triangle DFE \sim \triangle CBG$ではない。

三角形 ABC において、中点連結定理より DE は BC に平行。

従って、DE // BC。このとき、点FはDE上にあり、点GはBC上にある。

ここで、ABの中点がDであり、ACの中点がEであることから、DE = (1/2)BC = 15/2 = 7.5。

三角形 ADF と 三角形 ABG は相似ではないので、この方法では解けない。

メネラウスの定理を三角形 BCG に適用する。

$(BD/DA)*(AE/EC)*(CF/FB) = 1$

$DA=DB$, $AE=EC$, $DF/FG = 5/6$

メネラウスの定理は使えない。

ここで、DF // BG でない限り、$\frac{DF}{BG}=\frac{5}{x}$とすることはできない。

したがって、解なし。

3. 最終的な答え

解なし