数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 1$, $a_2 = 9$ であり、漸化式 $a_{n+1}a_{n-1}^2 = a_n^3$ を満たす。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 1$, $a_2 = 9$ であり、漸化式 $a_{n+1}a_{n-1}^2 = a_n^3$ を満たす。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} a_{n-1}^2 = a_n^3$ の両辺の対数をとる。常用対数 $\log$ をとると、

$$\log(a_{n+1} a_{n-1}^2) = \log(a_n^3)$$

$$\log a_{n+1} + 2 \log a_{n-1} = 3 \log a_n$$

ここで、$b_n = \log a_n$ とおくと、

$$b_{n+1} + 2b_{n-1} = 3b_n$$

$$b_{n+1} = 3b_n - 2b_{n-1}$$

これは線形2項間漸化式である。特性方程式は

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

$$(x-1)(x-2) = 0$$

よって、$x = 1, 2$ なので、

$$b_n = c_1 \cdot 1^n + c_2 \cdot 2^n = c_1 + c_2 2^n$$

ここで、$b_1 = \log a_1 = \log 1 = 0$ であり、$b_2 = \log a_2 = \log 9 = \log 3^2 = 2\log 3$ である。

$$b_1 = c_1 + 2c_2 = 0$$

$$b_2 = c_1 + 4c_2 = 2\log 3$$

2式を引き算すると、

$$2c_2 = 2\log 3$$

$$c_2 = \log 3$$

$c_1 = -2c_2 = -2\log 3$

したがって、

$$b_n = -2\log 3 + (\log 3) 2^n = \log 3 (2^n - 2) = (2^n - 2)\log 3$$

$$\log a_n = (2^n - 2)\log 3$$

$$a_n = 3^{2^n - 2}$$

3. 最終的な答え

$a_n = 3^{2^n - 2}$