$(4x-3y)^5$ の展開式における $xy^4$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(4x-3y)^5$ の展開式における $xy^4$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理より、 $(4x-3y)^5$ の展開式の一般項は次のようになります。

$_{5}C_{k} (4x)^{5-k} (-3y)^{k}$

$xy^4$ の項を求めるので、$x$ の指数が1、$y$ の指数が4となるような $k$ を探します。

$k = 4$ のとき、$x$ の指数は $5-4 = 1$ となり、条件を満たします。

したがって、$xy^4$ の項は

$_{5}C_{4} (4x)^{5-4} (-3y)^{4} = _{5}C_{4} (4x)^{1} (-3y)^{4}$

となります。ここで $_{5}C_{4} = \frac{5!}{4!1!} = 5$ であるので、

$5 (4x) (-3y)^{4} = 5 (4x) (81y^4) = 5 \cdot 4 \cdot 81 xy^4 = 1620 xy^4$

したがって、$xy^4$ の項の係数は $1620$ です。

3. 最終的な答え

1620