与えられた数式を整理・展開して、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の問題があります。 (1) $4x + y^2 - 2 + 5x^2 + 2y^2$ を $x$ について降べきの順に整理する。 (2) 次の式を展開する。 ① $(3x+4)(3x-4)$ ② $(2a+3)(4a+1)$ ③ $(2x-3y)^2$ ④ $(x-y+2z)^2$ ⑤ $(2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2)$ ⑥ $(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

1. 問題の内容

与えられた数式を整理・展開して、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の問題があります。

(1) $4x + y^2 - 2 + 5x^2 + 2y^2$ を $x$ について降べきの順に整理する。

(2) 次の式を展開する。

① $(3x+4)(3x-4)$

② $(2a+3)(4a+1)$

③ $(2x-3y)^2$

④ $(x-y+2z)^2$

⑤ $(2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

⑥ $(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

2. 解き方の手順

(1) $x$ について降べきの順に整理するとは、$x$ の次数の高い順に項を並べることです。

まず、$x$ の項、定数項、その他の項を整理します。

$5x^2 + 4x + y^2 + 2y^2 - 2 = 5x^2 + 4x + 3y^2 - 2$

(2) 式を展開します。

① $(3x+4)(3x-4)$ は、和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を使います。

$(3x+4)(3x-4) = (3x)^2 - 4^2 = 9x^2 - 16$

② $(2a+3)(4a+1)$ は、分配法則を使って展開します。

$(2a+3)(4a+1) = 2a \cdot 4a + 2a \cdot 1 + 3 \cdot 4a + 3 \cdot 1 = 8a^2 + 2a + 12a + 3 = 8a^2 + 14a + 3$

③ $(2x-3y)^2$ は、 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使います。

$(2x-3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

④ $(x-y+2z)^2$ は、$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ を使います。

$(x-y+2z)^2 = x^2 + (-y)^2 + (2z)^2 + 2 \cdot x \cdot (-y) + 2 \cdot (-y) \cdot 2z + 2 \cdot 2z \cdot x = x^2 + y^2 + 4z^2 - 2xy - 4yz + 4zx$

⑤ $(2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2)$ は、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を使います。

$(2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2) = (2x)^3 - y^3 = 8x^3 - y^3$

⑥ $(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ は、まず $(x-1)(x+1)$ を計算し、$x^2-1$ とします。次に、$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$を展開します。これは、$(A+x)(A-x)$の形と見做せるので、$A=x^2+1$を代入し、$(x^2+1)^2-x^2=x^4+2x^2+1-x^2=x^4+x^2+1$となります。

$(x^2-1)(x^4+x^2+1)=x^6+x^4+x^2-x^4-x^2-1=x^6-1$

3. 最終的な答え

(1) $5x^2 + 4x + 3y^2 - 2$

(2) ① $9x^2 - 16$

② $8a^2 + 14a + 3$

③ $4x^2 - 12xy + 9y^2$

④ $x^2 + y^2 + 4z^2 - 2xy - 4yz + 4zx$

⑤ $8x^3 - y^3$

⑥ $x^6 - 1$