与えられた式 $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 - (3y+1)x + (2y^2 + 5y - 12)$

次に、$2y^2 + 5y - 12$ を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 12 = (2y - 3)(y + 4)$

したがって、$x^2 - (3y+1)x + (2y^2 + 5y - 12) = x^2 - (3y+1)x + (2y - 3)(y + 4)$

この式を $(x+ay+b)(x+cy+d)$ の形に因数分解することを考えます。

$(x+ay+b)(x+cy+d) = x^2 + (a+c)xy + acy^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$

与えられた式と比較すると、以下のようになります。

$a+c = -3$

$ac = 2$

$b+d = -1$

$ad+bc = 5$

$bd = -12$

$ac = 2$を満たす整数$a, c$ の組は $(a, c) = (-1, -2), (-2, -1)$ です。

$a+c = -3$ であることから、$(a, c) = (-1, -2)$ または $(a, c) = (-2, -1)$ となります。

$(a, c) = (-1, -2)$ の場合、 $x^2 -(y+2y)x + (b+d)x + (-2b-d)y + bd$.

$(-1)d + (-2)b = 5$

$-d - 2b = 5$

$b+d = -1$ より $d = -1 - b$

$-(-1-b) - 2b = 5$

$1+b-2b = 5$

$-b = 4$

$b = -4$

$d = -1 - (-4) = 3$

$bd = (-4)(3) = -12$

よって、$(x - y - 4)(x - 2y + 3)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x - y - 4)(x - 2y + 3)$