正九角形において、図に示された角 $x$ の大きさを求める。

1. 問題の内容

正九角形において、図に示された角 $x$ の大きさを求める。

2. 解き方の手順

正九角形の一つの内角の大きさを求める。正 $n$ 角形の内角の和は $(n-2) \times 180^\circ$ であり、正 $n$ 角形の一つの内角の大きさは $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$ である。

したがって、正九角形の一つの内角の大きさは $\frac{(9-2) \times 180^\circ}{9} = \frac{7 \times 180^\circ}{9} = 7 \times 20^\circ = 140^\circ$である。

図において、$x$ は二等辺三角形の頂角である。この二等辺三角形の底角は正九角形の内角の一部であり、$x$ を求めるには、この底角を計算する必要がある。

正九角形の隣り合う辺を繋ぐ線分は、図のように二等辺三角形を形成する。

この二等辺三角形の等しい辺は正九角形の辺であり、底角は $\frac{180^\circ - 140^\circ}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$ である。

$x$ を含む三角形について考える。

そのうちの二つの角は、正九角形の頂点にある角であり、それぞれ $140^\circ - 20^\circ = 120^\circ$ である。

したがって、$x = 180^\circ - 120^\circ - 120^\circ = 180^\circ - 240^\circ = -60^\circ$ となってしまうので間違いである。

図から、角 $x$ は、正九角形の対角線によって作られる角度である。

正九角形の中心角は $\frac{360^\circ}{9} = 40^\circ$ である。

角 $x$ は中心角3つ分に相当するので、$3 \times 40^\circ = 120^\circ$ となる。したがって、$x = 60^\circ$ となる。

$x$ を含む三角形は二等辺三角形であり、頂角は $x$ である。

この三角形の底角は、正九角形の内角から $20^\circ$ を引いたものなので、 $140^\circ - 20^\circ = 120^\circ$ である。

この二等辺三角形の底角は $\frac{1}{2}(180^\circ - x)$ となるので、$140^\circ - 20^\circ = \frac{1}{2}(180^\circ - x)$ ではない。

二等辺三角形の底角は、正九角形の頂点から2つ離れた頂点を結んだ線によって作られる角度である。

この角度は $\frac{3}{9} \times 360^\circ / 2 = \frac{1}{3} \times 180^\circ = 60^\circ$ である。

したがって、$x$ を含む三角形の他の角度は、$60^\circ$ である。

したがって、$x = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$

3. 最終的な答え

60°