$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$を計算し、簡略化してください。

1. 問題の内容

$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$を計算し、簡略化してください。

2. 解き方の手順

$\sqrt{a} - \sqrt{b}$の形に変形することを考えます。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ なので、$a+b=12$ かつ $4ab = (6\sqrt{3})^2 = 36 \times 3 = 108$, よって、$ab=27$を満たす$a$と$b$を見つけます。

$a+b=12$と$ab=27$を満たす$a$と$b$は、二次方程式$x^2 - 12x + 27 = 0$の解となります。

$(x-3)(x-9)=0$なので、$x=3, 9$です。したがって、$a=9$, $b=3$とします。

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{9} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2}$

$\sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = |3-\sqrt{3}|$

$3 > \sqrt{3}$なので、$|3-\sqrt{3}| = 3-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3-\sqrt{3}$