袋の中に赤玉が6個、白玉が4個入っている。この中から同時に3個を取り出すとき、赤玉と白玉がともに取り出される確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が6個、白玉が4個入っている。この中から同時に3個を取り出すとき、赤玉と白玉がともに取り出される確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、袋から3個の玉を取り出すすべての組み合わせの数を計算します。

これは、10個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{10}C_3$で表されます。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

次に、赤玉と白玉がともに取り出される場合を考えます。これは、少なくとも1つの赤玉と少なくとも1つの白玉が取り出されるということです。この場合、以下の2つのパターンが考えられます。

* 赤玉2個、白玉1個

* 赤玉1個、白玉2個

それぞれのパターンについて、組み合わせの数を計算します。

* 赤玉2個、白玉1個の場合：

赤玉6個から2個を選ぶ組み合わせは $_{6}C_2$ で、白玉4個から1個を選ぶ組み合わせは $_{4}C_1$ です。

したがって、この組み合わせの数は、

$_{6}C_2 \times _{4}C_1 = \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{1!3!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 = 15 \times 4 = 60$

* 赤玉1個、白玉2個の場合：

赤玉6個から1個を選ぶ組み合わせは $_{6}C_1$ で、白玉4個から2個を選ぶ組み合わせは $_{4}C_2$ です。

したがって、この組み合わせの数は、

$_{6}C_1 \times _{4}C_2 = 6 \times \frac{4!}{2!2!} = 6 \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \times 6 = 36$

これらの2つのパターンを足し合わせると、赤玉と白玉がともに取り出される組み合わせの総数は、

$60 + 36 = 96$ となります。

求める確率は、赤玉と白玉がともに取り出される組み合わせの数を取り出し方すべての組み合わせの数で割ったものです。

確率 $= \frac{96}{120} = \frac{8 \times 12}{10 \times 12} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{5}$