問題は3つの小問から構成されています。 [1] 三角形ABCにおいて、角BACの二等分線と外角の二等分線が辺BCと交わる点をそれぞれD, Eとしたとき、BEとDEの長さを求める問題です。 [2] 平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO, 辺BCの中点をF, 線分AEとBDの交点をFとしたとき、AF:FEと△AFO:平行四辺形ABCDの比を求める問題です。 [3] (1)三角形ABCの外心をOとしたとき、x, yの角度を求める問題です。(2)三角形ABCの内心をIとしたとき、x, yの角度を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は3つの小問から構成されています。

[1] 三角形ABCにおいて、角BACの二等分線と外角の二等分線が辺BCと交わる点をそれぞれD, Eとしたとき、BEとDEの長さを求める問題です。

[2] 平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO, 辺BCの中点をF, 線分AEとBDの交点をFとしたとき、AF:FEと△AFO:平行四辺形ABCDの比を求める問題です。

[3] (1)三角形ABCの外心をOとしたとき、x, yの角度を求める問題です。(2)三角形ABCの内心をIとしたとき、x, yの角度を求める問題です。

2. 解き方の手順

[1]

角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 4:6 = 2:3$。$BC=5$だから、$BD = 5 \times \frac{2}{5} = 2$。

外角の二等分線の性質より、$BE:CE = AB:AC = 4:6 = 2:3$。$CE = BE - BC = BE - 5$だから、$BE:(BE-5) = 2:3$。

$3BE = 2(BE-5)$より、$3BE = 2BE - 10$。

$BE = 10$。

$DE = BE - BD = 10 - 2 = 8$。

[2]

平行四辺形ABCDより、$AO = OC$。FはBCの中点なので、$BF = FC$。よって、$AE$は三角形ABCの中線。よって、$AF:FE = 3:1$

平行四辺形ABCDの面積をSとすると、$三角形ABC = S/2$。Oは対角線の交点なので、$三角形ABO = 三角形BCO = 三角形CDO = 三角形DAO = S/4$。FはBCの中点なので、$三角形AFO = 1/2 * 三角形ACO = 1/2 * (S/4) = S/8$。よって、$三角形AFO:平行四辺形ABCD = S/8: S = 1:8$。

[3]

(1) Oは三角形ABCの外心なので、$OB=OC$。$角OBC = 角OCB = 23°$。よって、$角BOC = 180° - 23° - 23° = 134°$。外角の中心角は円周角の2倍であるから、$角BOC = 2 * 角BAC = 2*y$。

$2y = 134°$より、$y = 67°$。

三角形の内角の和は180度なので、$角ACB = 34°$, $角ABC = 23°$, $x = 180°-34°-23°-y = 180°-34°-23°-67° = 56°$。

(2) Iは三角形ABCの内心なので、$角IBC = 26°$。$角BIC = 180° - 角IBC - 角ICB$。三角形の内角の和は180度なので、$角ABC + 角BCA + 角CAB = 180°$。$80°+26°*2 + x*2 = 180°$。$x = (180°-80°-52°)/2 = 48°/2=24°$

$y = 180°-26°-24° = 130°$。

3. 最終的な答え

[1]

BE = 10

DE = 8

[2]

AF:FE = 3:1

△AFO:平行四辺形ABCD = 1:8

[3]

(1)

x = 56°

y = 67°

(2)

x = 24°

y = 130°