$a + b = -12$ かつ $ab = 27$ のとき、$a^2 + ab + b^2$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$a + b = -12$ かつ $ab = 27$ のとき、$a^2 + ab + b^2$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ であることを利用します。

与えられた式 $a^2 + ab + b^2$ を $(a + b)^2$ を用いて表すことを考えます。

$a^2 + ab + b^2$ に $ab$ を足して $ab$ を引くと、

$a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 - ab$ となります。

ここで、$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ なので、

$a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 - ab$ と表せます。

$a + b = -12$ かつ $ab = 27$ なので、

$(a + b)^2 = (-12)^2 = 144$

したがって、

$a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 - ab = 144 - 27 = 117$

3. 最終的な答え

117