実数 $x, y$ が $2x^2 + 3xy + 2y^2 = 7$ を満たすとき、$6x + 3xy + 6y$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $2x^2 + 3xy + 2y^2 = 7$ を満たすとき、$6x + 3xy + 6y$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$6x + 3xy + 6y = 3(2x + xy + 2y)$ と変形します。

$k = 2x + xy + 2y$ とおくと、$3k = 6x + 3xy + 6y$ となります。

したがって、$k$ の取りうる範囲を求めれば、求めるべき $6x + 3xy + 6y$ の範囲もわかります。

$2x^2 + 3xy + 2y^2 = 7$ より、$2(x^2 + y^2) + 3xy = 7$ です。

また、$k = 2x + xy + 2y$ より、$xy = k - 2(x+y)$ です。

これを最初の式に代入すると、$2(x^2 + y^2) + 3(k - 2(x+y)) = 7$ となります。

$x+y = s$, $xy = t$ とおくと、

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 2t$ なので、

$2(s^2 - 2t) + 3t = 7 + 6s$

$2s^2 - 4t + 3t = 7 + 6s$

$2s^2 - t = 7 + 6s$

$t = 2s^2 - 6s - 7$

$xy = t = k - 2(x+y)$ より、

$k - 2s = 2s^2 - 6s - 7$

$k = 2s^2 - 4s - 7$

$x, y$ は実数なので、$x, y$ を解とする $z$ の二次方程式

$z^2 - sz + t = 0$

は実数解を持つ必要があります。

したがって、判別式 $D = s^2 - 4t \geq 0$ でなければなりません。

$D = s^2 - 4(2s^2 - 6s - 7) = s^2 - 8s^2 + 24s + 28 = -7s^2 + 24s + 28 \geq 0$

$7s^2 - 24s - 28 \leq 0$

$7s^2 - 24s - 28 = 0$ を解くと、

$s = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4(7)(-28)}}{2(7)} = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 784}}{14} = \frac{24 \pm \sqrt{1360}}{14} = \frac{24 \pm 4\sqrt{85}}{14} = \frac{12 \pm 2\sqrt{85}}{7}$

したがって、$\frac{12 - 2\sqrt{85}}{7} \leq s \leq \frac{12 + 2\sqrt{85}}{7}$

$k = 2s^2 - 4s - 7 = 2(s^2 - 2s) - 7 = 2(s^2 - 2s + 1 - 1) - 7 = 2(s-1)^2 - 9$

$s = 1$ のとき、$k = -9$ となり、$s = 1$ は上記の範囲内にあるので、$k$ の最小値は $-9$ となります。

$k = 2s^2 - 4s - 7$ の最大値を求めるには、範囲の端点を調べます。

$s = \frac{12 - 2\sqrt{85}}{7}$ のとき、$k = 2(\frac{12 - 2\sqrt{85}}{7})^2 - 4(\frac{12 - 2\sqrt{85}}{7}) - 7 = \frac{243}{7}$

$s = \frac{12 + 2\sqrt{85}}{7}$ のとき、$k = 2(\frac{12 + 2\sqrt{85}}{7})^2 - 4(\frac{12 + 2\sqrt{85}}{7}) - 7 = \frac{243}{7}$

したがって、$k$ の最大値は $\frac{243}{7}$ となります。

$-9 \leq k \leq \frac{243}{7}$

$-27 \leq 3k \leq \frac{729}{7}$

$-27 \leq 6x + 3xy + 6y \leq \frac{729}{7}$

3. 最終的な答え

$-27 \leq 6x + 3xy + 6y \leq \frac{729}{7}$