全体集合$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、集合$A = \{1, 2, 4, 8\}$、集合$B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$が与えられたとき、以下の集合を求める。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A} \cup B$

1. 問題の内容

全体集合$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、集合$A = \{1, 2, 4, 8\}$、集合$B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$が与えられたとき、以下の集合を求める。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $A \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $\overline{A} \cup B$

2. 解き方の手順

まず、補集合$\overline{A}$と$\overline{B}$を求める。

$\overline{A}$は、$U$に含まれるが、$A$に含まれない要素の集合。

$\overline{B}$は、$U$に含まれるが、$B$に含まれない要素の集合。

次に、(3) $A \cap \overline{B}$を求める。これは、$A$と$\overline{B}$両方に含まれる要素の集合(共通部分)。

(4) では、$A \cup B$を求めてから$\overline{A \cup B}$を求める。$A \cup B$は、$A$または$B$に含まれるすべての要素の集合(和集合)。$\overline{A \cup B}$は、$U$に含まれるが、$A \cup B$に含まれない要素の集合。

(5) では、$\overline{A} \cup B$を求める。これは、$\overline{A}$または$B$に含まれるすべての要素の集合(和集合)。

(1) $\overline{A}$を計算する。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、 $A = \{1, 2, 4, 8\}$なので、

$\overline{A} = \{3, 5, 6, 7\}$

(2) $\overline{B}$を計算する。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、 $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$なので、

$\overline{B} = \{1, 7, 8\}$

(3) $A \cap \overline{B}$を計算する。

$A = \{1, 2, 4, 8\}$、 $\overline{B} = \{1, 7, 8\}$なので、

$A \cap \overline{B} = \{1, 8\}$

(4) $\overline{A \cup B}$を計算する。

$A = \{1, 2, 4, 8\}$、 $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$なので、

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$

$\overline{A \cup B} = \{7\}$

(5) $\overline{A} \cup B$を計算する。

$\overline{A} = \{3, 5, 6, 7\}$、 $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$なので、

$\overline{A} \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{3, 5, 6, 7\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 7, 8\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{1, 8\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{7\}$

(5) $\overline{A} \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$