次の2次関数について、最大値または最小値を求めよ。 (1) $y = x^2 + 6x + 5$ (2) $y = -2x^2 + 5x - 2$

1. 問題の内容

次の2次関数について、最大値または最小値を求めよ。

(1) $y = x^2 + 6x + 5$

(2) $y = -2x^2 + 5x - 2$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 6x + 5$ を平方完成する。

$y = (x^2 + 6x) + 5$

$y = (x^2 + 6x + 9 - 9) + 5$

$y = (x + 3)^2 - 9 + 5$

$y = (x + 3)^2 - 4$

これは下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(-3, -4)$である。

したがって、最小値は $-4$ ($x = -3$のとき)。

最大値は存在しない。

(2) $y = -2x^2 + 5x - 2$ を平方完成する。

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x) - 2$

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 - (\frac{5}{4})^2) - 2$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + 2(\frac{25}{16}) - 2$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8} - \frac{16}{8}$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{9}{8}$

これは上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(\frac{5}{4}, \frac{9}{8})$である。

したがって、最大値は $\frac{9}{8}$ ($x = \frac{5}{4}$のとき)。

最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 最小値 $-4$ (x = $-3$のとき)、最大値は存在しない。

(2) 最大値 $\frac{9}{8}$ (x = $\frac{5}{4}$のとき)、最小値は存在しない。