数列 $a_n$ が与えられており、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$ を求めよという問題に対して、$a_n$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が与えられており、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$ を求めよという問題に対して、$a_n$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題文には $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$ の具体的な形が与えられていないため、$a_n$ の一般項を具体的に求めることはできません。したがって、この問題を解くためには、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$ の式が別途必要になります。もし、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = f(n)$ (n の式) という形で与えられているのであれば、以下のように $a_n$ を求めることができます。

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = f(n)$ とおく。

$S_{n-1} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k} = f(n-1)$ となる。

$n \ge 2$ のとき、

$S_n - S_{n-1} = \frac{1}{a_n} = f(n) - f(n-1)$

よって、$a_n = \frac{1}{f(n) - f(n-1)}$ (ただし、$n \ge 2$)

$a_1$ は $a_1 = \frac{1}{S_1} = \frac{1}{f(1)}$ で求められます。

最後に、$a_n = \frac{1}{f(n) - f(n-1)}$ に $n=1$ を代入したとき、$a_1$ と一致するかどうかを確認し、一致していれば $a_n$ は $n \ge 1$ で成り立つことになります。一致しなければ、 $a_1 = \frac{1}{f(1)}$ と $a_n = \frac{1}{f(n) - f(n-1)}$ ($n \ge 2$) を分けて記述する必要があります。

3. 最終的な答え

問題文だけでは、$a_n$ の一般項を求めることはできません。$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$ の具体的な式が必要です。もし $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = f(n)$ という形で与えられているなら、

$a_n = \frac{1}{f(n) - f(n-1)}$ (ただし、$n \ge 2$)

$a_1 = \frac{1}{f(1)}$

を求めることができます。