三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{2}$、$BC = \sqrt{17}$、$\angle A = 135^\circ$ のとき、$CA$の長さを選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{2}$、$BC = \sqrt{17}$、$\angle A = 135^\circ$ のとき、$CA$の長さを選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて$BC^2$を$AB$, $CA$, $\angle A$で表します。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$BC = \sqrt{17}$, $AB = \sqrt{2}$, $\angle A = 135^\circ$を代入します。$CA = x$とおきます。

$(\sqrt{17})^2 = (\sqrt{2})^2 + x^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot x \cdot \cos 135^\circ$

$17 = 2 + x^2 - 2\sqrt{2} x (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$17 = 2 + x^2 + 2x$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

$(x+5)(x-3) = 0$

$x = -5, 3$

$CA>0$より、$CA = 3$

正弦定理より

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B} = 2R$

$\frac{\sqrt{17}}{\sin 135^\circ} = \frac{3}{\sin B}$

$\sin B = \frac{3\sin 135^\circ}{\sqrt{17}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{17}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{17}} = \frac{3\sqrt{34}}{34}$

面積を求めるために、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot \sin A$を用いると

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \sin 135^\circ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2}$

余弦定理から

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

$\sqrt{17}^2 = \sqrt{2}^2+x^2-2 \sqrt{2} x \cos(135^\circ)$

$17=2+x^2 -2\sqrt{2} x (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$17=2+x^2 +2x/2*2$

$17=2+x^2+2x$

$x^2+2x-15=0$

$(x-3)(x+5)=0$

$x=3, -5$

Since x must be positive, $x=3$

$CA = 3$

サインの法則を使って答えを確認します。

$\frac{\sqrt{17}}{sin(135)} = \frac{3}{sin(B)}$

$sin(B)=\frac{3sin(135)}{\sqrt{17}}$

$sin(B)=\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{17}}$

$B=asin(\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{17}})$

CAを求める式として、正弦定理を使うと、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{\sqrt{17}}{\sin 135^\circ} = \frac{CA}{\sin B}$

$CA = \frac{\sqrt{17} \sin B}{\sin 135^\circ} = \frac{\sqrt{17}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \sin B = \sqrt{34}\sin B$

余弦定理を使うと、

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B$

$CA = \frac{AB \sin A}{\sin C}$

$\frac{\sqrt{17}}{\sin 135} = \frac{CA}{\sin x}$

$\frac{\sqrt{17}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{CA}{\sin x}$

$CA = \frac{2 \sqrt{17} \sin x}{\sqrt{2}}$

選択肢の中に3が見当たらないので、角度を求める。

$\frac{\sqrt{17}}{sin135} = \frac{\sqrt{2}}{sinC}$

$sinC = \frac{\sqrt{2} * sin135}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{2} * \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$

$\frac{20 \sqrt{3}}{sin(105)}$

sin（105）＝sin（60+45）＝sin60cos45+cos60sin45

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\frac{20}{sin(105)}=\frac{20*4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

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