四角形ABCDが円に内接しており、点Cで直線TT'が円に接している。$\angle BAD = 115^\circ$、$\angle BDC = 40^\circ$であるとき、$\angle DCT'$を求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、点Cで直線TT'が円に接している。$\angle BAD = 115^\circ$、$\angle BDC = 40^\circ$であるとき、$\angle DCT'$を求める。

2. 解き方の手順

* 円に内接する四角形の対角の和は$180^\circ$であるから、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$。

* $\angle DBC = \angle DAC$。

* 四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BAC = \angle BDC = 40^\circ$

* $\angle DAC = \angle BAD - \angle BAC = 115^\circ - 40^\circ = 75^\circ$。

* $\angle DBC = 75^\circ$。

* $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$

$65^\circ = \angle BCA + \angle ACD$

* $\angle BCA = \angle BDA$

$\angle BDA = \angle BDC + \angle CDA$

$\angle BCA = 40^\circ + \angle CDA$

* 接弦定理より、$\angle DCT' = \angle DBC + \angle BDA$

* $\angle BDA = \angle BCA$

$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$より

$\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA$

$\angle DCT' = \angle CBD + \angle BAC$

* 接弦定理より、$\angle DCT' = \angle CAD+\angle ABD = 115^{\circ}-40^{\circ}$

$\angle DBC = \angle DAC = 75^\circ$

$\angle BCD = 65^\circ$

$\angle BCA + \angle ACD = 65^\circ$

$\angle DCT' = \angle BAC + \angle ABC$

$\angle DCT' = \angle CBD + \angle BDA$

$\angle DCT' = \angle CAD$

3. 最終的な答え

$\angle DCT' = 75^\circ$