複素数平面上で、$|z-(1+i)| = \sqrt{2}$ で表される円上の3点 O(0), A($\alpha$), B($\beta$) が正三角形の頂点をなすとき、$\alpha$ と $\beta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面上で、$|z-(1+i)| = \sqrt{2}$ で表される円上の3点 O(0), A($\alpha$), B($\beta$) が正三角形の頂点をなすとき、$\alpha$ と $\beta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の中心を C(1+i) とします。半径は $\sqrt{2}$ です。

O, A, B が正三角形の頂点であることから、複素平面上で O, A, B は円周上にあり、かつ互いに120度ずつ回転した位置にあると考えられます。

$\alpha$ と $\beta$ は $z = 1+i + \sqrt{2}e^{i\theta}$ の形であるはずです。ただし、$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ です。

点O(0)も円周上にあるので、OC = $\sqrt{2}$。

したがって、

$|0 - (1+i)| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ なので、条件を満たしています。

つまり、点Oは与えられた円周上にあります。

正三角形なので、点A($\alpha$)は点O(0)を点C(1+i)を中心に$\pm 120^\circ (\pm \frac{2\pi}{3})$回転させ、半径$\sqrt{2}$だけ伸ばした点、あるいは点O(0)を点C(1+i)を中心に$\pm 240^\circ (\pm \frac{4\pi}{3})$回転させ、半径$\sqrt{2}$だけ伸ばした点と考えることができます。

$\alpha = (1+i) + \sqrt{2} (\cos(\pm \frac{2\pi}{3}) + i\sin(\pm \frac{2\pi}{3}))$ と $\beta = (1+i) + \sqrt{2} (\cos(\pm \frac{4\pi}{3}) + i\sin(\pm \frac{4\pi}{3}))$と表せる。

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}, \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}, \sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}, \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}, \sin(-\frac{4\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha = 1+i + \sqrt{2}(-\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}) = (1-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (1\pm\frac{\sqrt{6}}{2})i = \frac{2-\sqrt{2}}{2} + \frac{2\pm\sqrt{6}}{2}i$

$\beta = 1+i + \sqrt{2}(-\frac{1}{2} \mp i\frac{\sqrt{3}}{2}) = (1-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (1\mp\frac{\sqrt{6}}{2})i = \frac{2-\sqrt{2}}{2} + \frac{2\mp\sqrt{6}}{2}i$

A,Bのいずれかが$\alpha$, $\beta$ に対応するので、$\alpha = \frac{2-\sqrt{2}}{2} + \frac{2+\sqrt{6}}{2}i$, $\beta = \frac{2-\sqrt{2}}{2} + \frac{2-\sqrt{6}}{2}i$

3. 最終的な答え

$\alpha, \beta = \frac{2-\sqrt{2}}{2} + \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}i$

したがって、

1 = 2, 2 = 2, 3 = 2, 4 = 6

$\frac{2-\sqrt{2}}{2} + \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}i$