縦の長さが $h$ m、横の長さが $2h$ m の長方形の土地の周囲に、幅 $a$ m の道がある。この道の真ん中を通る線の長さを $l$ m、この道の面積を $S$ m$^2$ とするとき、$S = al$ となることを証明する問題です。選択肢を選ぶ問題ですが、問題文に選択肢が記載されていないため、選択肢を仮定して、問題を解くことはできません。しかし、$S = al$となることを証明する過程で、$l$と$S$を求めることができます。

1. 問題の内容

縦の長さが $h$ m、横の長さが $2h$ m の長方形の土地の周囲に、幅 $a$ m の道がある。この道の真ん中を通る線の長さを $l$ m、この道の面積を $S$ m$^2$ とするとき、$S = al$ となることを証明する問題です。選択肢を選ぶ問題ですが、問題文に選択肢が記載されていないため、選択肢を仮定して、問題を解くことはできません。しかし、$S = al$となることを証明する過程で、$l$と$S$を求めることができます。

2. 解き方の手順

まず、$l$ を求めます。道の真ん中を通る線の長さ $l$ は、長方形部分と円弧部分に分けて考えます。

長方形部分の長さは、元の長方形の縦と横にそれぞれ $a$ を加えた長さの2倍です。したがって、長方形部分は、$2(h+a) + 2(2h+a) = 2(3h+2a) = 6h + 4a$ となります。

円弧部分は、半径 $a$ の円の円周の長さと等しくなります。したがって、$2\pi a$ となります。

したがって、

$l = 2(h+a) + 2(2h+a) + 2\pi (a/2) = 2(h+a) + 2(2h+a) + \pi a= 6h + 4a + \pi a$となります。しかし、図より、道の角は四分円になっているので、円弧部分の長さは半径 $a$ の円の円周となります。つまり、$2 \pi \frac{a}{2}\times 4=2\pi a$と考えることができます。したがって、$l= 2h + 2h + h+ 2\pi a = 6h + 2 \pi a$ となります。

次に、$S$ を求めます。道の面積 $S$ は、全体の長方形の面積から元の長方形の面積を引いたものです。全体の長方形の縦は $h + 2a$、横は $2h + 2a$ なので、面積は $(h+2a)(2h+2a) = 2h^2 + 6ah + 4a^2$ となります。元の長方形の面積は $2h^2$ です。

したがって、道の面積は $2h^2 + 6ah + 4a^2 - 2h^2 = 6ah + 4a^2$ となります。

角の部分は、半径 $a$ の四分円が4つ分なので、面積は $\pi a^2$ となります。

したがって、$S = (2h+2a)(h+2a) - 2h^2 = 2h^2 + 4ah + 2ah + 4a^2 - 2h^2 = 6ah + 4a^2$ となります。$S = 2(h+a)a+2(2h+a)a + \pi a^2 = 2ha+2a^2 + 4ha +2a^2 + \pi a^2 = 6ha + 4a^2 + \pi a^2$

$S = al$ なので、$6ah + 4a^2 + \pi a^2 = a(6h + 4a + \pi a)$ となります。

3. 最終的な答え

空欄を選ぶ形式ですが、選択肢がないため、解答はできません。

道の真ん中を通る線の長さ $l = 6h+4a+\pi a$

道の面積 $S = 6ah+4a^2+\pi a^2$

問題文に誤りがある可能性があります。もし角が円弧ではなく、長方形のままなら、道の面積は、$S=6ah+4a^2$ 道の真ん中の線の長さは $l=6h+4a$となります。そうすると、$S=al$が成り立ちます。