$\triangle OAB$ において、辺 $OA$, $OB$ の中点をそれぞれ $M$, $N$ とする。 (1) $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\vec{MN}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ で表せ。 (2) $\vec{AB} // \vec{MN}$ であることを証明せよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$, $OB$ の中点をそれぞれ $M$, $N$ とする。

(1) $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\vec{MN}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ で表せ。

(2) $\vec{AB} // \vec{MN}$ であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$ であり、$\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{b}$ である。

したがって、

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

(2) $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

よって、$\vec{AB} = 2\vec{MN}$ となり、$\vec{AB}$ と $\vec{MN}$ は平行である。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

(2) $\vec{AB} = 2\vec{MN}$ より $\vec{AB} // \vec{MN}$