座標平面上に3点 A(1, -4), B(3, 0), C(4, 2) が与えられている。 (1) ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の成分表示を求めよ。 (2) 3点A, B, Cが一直線上にあることを証明せよ。

1. 問題の内容

座標平面上に3点 A(1, -4), B(3, 0), C(4, 2) が与えられている。

(1) ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の成分表示を求めよ。

(2) 3点A, B, Cが一直線上にあることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの成分表示

$\overrightarrow{AB}$ の成分表示は、点Bの座標から点Aの座標を引いて求める。

$\overrightarrow{AB} = (3-1, 0-(-4)) = (2, 4)$

$\overrightarrow{AC}$ の成分表示は、点Cの座標から点Aの座標を引いて求める。

$\overrightarrow{AC} = (4-1, 2-(-4)) = (3, 6)$

(2) 3点が一直線上にあることの証明

3点A, B, Cが一直線上にあるためには、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ が平行であることが必要十分条件である。

$\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$ を満たす実数 $k$ が存在すれば、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は平行である。

$(3, 6) = k(2, 4)$ より、

$3 = 2k$ かつ $6 = 4k$

$k = \frac{3}{2}$

両方の式で $k = \frac{3}{2}$ となるので、$\overrightarrow{AC} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}$ となり、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は平行である。

したがって、3点A, B, Cは一直線上にある。

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB} = (2, 4)$, $\overrightarrow{AC} = (3, 6)$

(2) 3点A, B, Cは一直線上にある（証明終わり）。