与えられた式 $\frac{3+2\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}$ を計算し、簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{3+2\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}$ を計算し、簡略化します。

2. 解き方の手順

分母に$\sqrt{7}$が含まれているため、分母を有理化します。分母の共役である $3+\sqrt{7}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{3+2\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} = \frac{(3+2\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}$

分子を展開します。

$(3+2\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 3 \cdot 3 + 3 \cdot \sqrt{7} + 2\sqrt{7} \cdot 3 + 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 9 + 3\sqrt{7} + 6\sqrt{7} + 2 \cdot 7 = 9 + 9\sqrt{7} + 14 = 23 + 9\sqrt{7}$

分母を展開します。

$(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2$

したがって、

$\frac{3+2\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} = \frac{23+9\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{23+9\sqrt{7}}{2}$