$\sin \theta + \cos \theta = a$ のとき、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を $a$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = a$ のとき、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を $a$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(\sin \theta + \cos \theta)^3$ を展開します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^3 = \sin^3 \theta + 3\sin^2 \theta \cos \theta + 3\sin \theta \cos^2 \theta + \cos^3 \theta$

$= \sin^3 \theta + \cos^3 \theta + 3\sin \theta \cos \theta (\sin \theta + \cos \theta)$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ について整理すると、

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)^3 - 3\sin \theta \cos \theta (\sin \theta + \cos \theta)$

ここで、$a = \sin \theta + \cos \theta$ なので、

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = a^3 - 3\sin \theta \cos \theta \cdot a$

次に、$\sin \theta \cos \theta$ を $a$ で表します。

$a = \sin \theta + \cos \theta$ の両辺を2乗すると、

$a^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

$a^2 = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

したがって、$\sin \theta \cos \theta = \frac{a^2 - 1}{2}$

これを $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の式に代入します。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = a^3 - 3 \cdot \frac{a^2 - 1}{2} \cdot a$

$= a^3 - \frac{3}{2}a(a^2 - 1) = a^3 - \frac{3}{2}a^3 + \frac{3}{2}a$

$= -\frac{1}{2}a^3 + \frac{3}{2}a = \frac{3a - a^3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3a - a^3}{2}$