集合 $A$ と集合 $B$ が与えられたとき、$A \cap B$ （$A$と$B$の共通部分）と $A \cup B$ （$A$と$B$の和集合）を求めよ。問題には4つの小問が含まれています。 (1) $A = \{1, 3, 5, 7\}$, $B = \{0, 1, 2, 3\}$ (2) $A = \{2, 3, 5\}$, $B = \{1, 4, 6, 7\}$ (3) $A = \{x | x \text{ は } 16 \text{ の正の約数} \}$, $B = \{x | x \text{ は } 24 \text{ の正の約数} \}$ (4) $A = \{x | x \text{ は } 18 \text{ の正の約数} \}$, $B = \{x | x \text{ は } 30 \text{ の正の約数} \}$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

集合 $A$ と集合 $B$ が与えられたとき、$A \cap B$ （$A$と$B$の共通部分）と $A \cup B$ （$A$と$B$の和集合）を求めよ。問題には4つの小問が含まれています。

(1) $A = \{1, 3, 5, 7\}$, $B = \{0, 1, 2, 3\}$

(2) $A = \{2, 3, 5\}$, $B = \{1, 4, 6, 7\}$

(3) $A = \{x | x \text{ は } 16 \text{ の正の約数} \}$, $B = \{x | x \text{ は } 24 \text{ の正の約数} \}$

(4) $A = \{x | x \text{ は } 18 \text{ の正の約数} \}$, $B = \{x | x \text{ は } 30 \text{ の正の約数} \}$

2. 解き方の手順

(1)

* $A \cap B$ は、$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合です。

この場合、$A = \{1, 3, 5, 7\}$ と $B = \{0, 1, 2, 3\}$ の共通要素は $1$ と $3$ です。

したがって、$A \cap B = \{1, 3\}$。

* $A \cup B$ は、$A$または$B$に含まれるすべての要素の集合です。

この場合、$A = \{1, 3, 5, 7\}$ と $B = \{0, 1, 2, 3\}$ の要素をすべて集めると、$0, 1, 2, 3, 5, 7$ となります。

重複する要素は1度だけ含めます。

したがって、$A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 5, 7\}$。

(2)

* $A \cap B$ は、$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合です。

この場合、$A = \{2, 3, 5\}$ と $B = \{1, 4, 6, 7\}$ の共通要素はありません。

したがって、$A \cap B = \emptyset$ (空集合)。

* $A \cup B$ は、$A$または$B$に含まれるすべての要素の集合です。

この場合、$A = \{2, 3, 5\}$ と $B = \{1, 4, 6, 7\}$ の要素をすべて集めると、$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ となります。

したがって、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$。

(3)

* まず、$A$と$B$の要素をリストアップします。

$16$ の正の約数は、$1, 2, 4, 8, 16$ なので、$A = \{1, 2, 4, 8, 16\}$。

$24$ の正の約数は、$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ なので、$B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$。

* $A \cap B$ は、$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 2, 4, 8, 16\}$ と $B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ の共通要素は $1, 2, 4, 8$ です。

したがって、$A \cap B = \{1, 2, 4, 8\}$。

* $A \cup B$ は、$A$または$B$に含まれるすべての要素の集合です。

$A = \{1, 2, 4, 8, 16\}$ と $B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ の要素をすべて集めると、$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24$ となります。

したがって、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24\}$。

(4)

* まず、$A$と$B$の要素をリストアップします。

$18$ の正の約数は、$1, 2, 3, 6, 9, 18$ なので、$A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$。

$30$ の正の約数は、$1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ なので、$B = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$。

* $A \cap B$ は、$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ と $B = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$ の共通要素は $1, 2, 3, 6$ です。

したがって、$A \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$。

* $A \cup B$ は、$A$または$B$に含まれるすべての要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ と $B = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$ の要素をすべて集めると、$1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30$ となります。

したがって、$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30\}$。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{1, 3\}$, $A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 5, 7\}$

(2) $A \cap B = \emptyset$, $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$

(3) $A \cap B = \{1, 2, 4, 8\}$, $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24\}$

(4) $A \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$, $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30\}$