問題は、3文字の因数分解に関するもので、以下の2つの式を因数分解する必要があります。 (1) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ (2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

1. 問題の内容

問題は、3文字の因数分解に関するもので、以下の2つの式を因数分解する必要があります。

(1) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

2. 解き方の手順

(1) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を展開し整理します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

これを $a$ について整理すると、

$a^2(b-c) - a(b^2 - c^2) + (b^2c - c^2b) = a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c)$

$(b-c)$ でくくると、

$(b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) = (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開します。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + ab + c^2 + ac) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= 2abc + a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b$

これに $abc$ を加えると、

$3abc + a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b$

$= a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 3abc$

ここで、因数分解の形を予想して $(a+b)(b+c)(c+a)$ を利用することを考えると、

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + ab + c^2 + ac) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc) + abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

よって、$(a+b)(b+c)(c+a)$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a)$