与えられた数式を因数分解します。 (1) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ (2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ (3) $-a - b(b - c) - c(c - a)$ (4) $a + b + c(ab + bc + ca)$

1. 問題の内容

与えられた数式を因数分解します。

(1) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

(3) $-a - b(b - c) - c(c - a)$

(4) $a + b + c(ab + bc + ca)$

2. 解き方の手順

(1) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

この式を展開して整理し、因数分解します。

まず、$a$について整理します。

$a^2(b-c) + b^2c - ab^2 + c^2a - bc^2$

$= (b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + b^2c - bc^2$

$= (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + bc(b-c)$

$= (b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

$= (b-c)(a^2 - (b+c)a + bc)$

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

この式を展開して整理し、因数分解します。

$(a+b)(bc + ba + c^2 + ca) + abc$

$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b^2+bc+2bc+c^2) + bc(b+c)$

$=a^2(b+c)+a(b(b+c)+c(c+2b)) + bc(b+c)$

$a^2(b+c)+ab(b+c)+ac(c+b)+2abc+bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + (b^2 + 3bc + c^2)a + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + ab^2 + 3abc + ac^2 + b^2c + bc^2$

$= (a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(bc+ba+c^2+ca)+abc = abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc + abc = a^2(b+c)+a(b^2+c^2)+b^2c+bc^2+3abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

(3) $-a - b(b - c) - c(c - a)$

$-a - b^2 + bc - c^2 + ac$

$a(c-1) - b^2 + bc - c^2$

(4) $a + b + c(ab + bc + ca)$

$a + b + abc + bc^2 + ca^2$

3. 最終的な答え

(1) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $(a+b+c)(ab+bc+ca)$

(3) $a(c-1) - b^2 + bc - c^2$

(4) $a + b + abc + bc^2 + ca^2$