2次関数 $y=x^2-8x+3$ の $3 \le x \le 5$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2-8x+3$ の $3 \le x \le 5$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 8x + 3$

$y = (x^2 - 8x) + 3$

$y = (x^2 - 8x + 16 - 16) + 3$

$y = (x - 4)^2 - 16 + 3$

$y = (x - 4)^2 - 13$

この平方完成形から、頂点の座標が $(4, -13)$ であることがわかります。

また、$x^2$ の係数が正であるため、グラフは下に凸の放物線です。

次に、定義域 $3 \le x \le 5$ における最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標 $x=4$ は定義域に含まれています。

そのため、$x=4$ のとき最小値をとります。最小値は $y = (4-4)^2 - 13 = -13$ です。

最大値を求めるには、定義域の端点 $x=3$ と $x=5$ での $y$ の値を比較します。

$x=3$ のとき、

$y = (3-4)^2 - 13 = (-1)^2 - 13 = 1 - 13 = -12$

$x=5$ のとき、

$y = (5-4)^2 - 13 = (1)^2 - 13 = 1 - 13 = -12$

$x=3$ と $x=5$ のとき、どちらも $y = -12$ であるため、最大値は $-12$ です。

3. 最終的な答え

最小値: -13 (x=4のとき)

最大値: -12 (x=3, 5のとき)