## 129. 問題の内容

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9. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ると余りが $3x-1$ であるとき、$P(x)$ を $x-1$ および $x+2$ で割ったときの余りをそれぞれ求める。

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2. 解き方の手順

剰余の定理より、以下のことがわかる。

* $P(x)$ を $x-1$ で割った余りは $P(1)$ である。

* $P(x)$ を $x+2$ で割った余りは $P(-2)$ である。

$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割った商を $Q(x)$ とすると、

$$$$

P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + 3x-1

$$$$

と表せる。

$x = 1$ を代入すると、

$$$$

P(1) = (1-1)(1+2)Q(1) + 3(1)-1 = 0 + 3 - 1 = 2

$$$$

$x = -2$ を代入すると、

$$$$

P(-2) = (-2-1)(-2+2)Q(-2) + 3(-2)-1 = 0 - 6 - 1 = -7

$$$$

したがって、$P(x)$ を $x-1$ で割った余りは $2$ であり、$P(x)$ を $x+2$ で割った余りは $-7$ である。

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3. 最終的な答え

$x-1$ で割った余り：$2$

$x+2$ で割った余り：$-7$

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0. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $5$、$x-3$ で割ると余りが $9$ であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求める。

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2. 解き方の手順

剰余の定理より、以下のことがわかる。

* $P(2) = 5$

* $P(3) = 9$

$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割った余りを $ax+b$ とおくと、$P(x)$ は

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P(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + ax + b

$$$$

と表せる。ここで、$Q(x)$ は商である。

$x = 2$ を代入すると、

$$$$

P(2) = (2-2)(2-3)Q(2) + 2a + b = 2a + b = 5

$$$$

$x = 3$ を代入すると、

$$$$

P(3) = (3-2)(3-3)Q(3) + 3a + b = 3a + b = 9

$$$$

2つの式から連立方程式

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\begin{cases}

2a + b = 5 \\

3a + b = 9

\end{cases}

$$$$

を得る。第2式から第1式を引くと、$a = 4$ となる。

$2a + b = 5$ に $a=4$ を代入すると、$8 + b = 5$ より $b = -3$ となる。

したがって、求める余りは $4x - 3$ である。

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3. 最終的な答え

$4x - 3$