2次関数 $y = -x^2 + 3x + 2$ の、$0 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 3x + 2$ の、$0 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 3x + 2$

$y = -(x^2 - 3x) + 2$

$y = -\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) + 2$

$y = -\left(\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right) + 2$

$y = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} + 2$

$y = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} + \frac{8}{4}$

$y = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{17}{4}$

これにより、頂点の座標が $\left(\frac{3}{2}, \frac{17}{4}\right)$ であることがわかります。

また、2次関数のグラフは上に凸の放物線です。

次に、定義域 $0 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めます。

頂点のx座標 $x = \frac{3}{2}$ は定義域に含まれていません。

したがって、定義域の端点 $x=0$ と $x=1$ での $y$ の値を調べます。

$x = 0$ のとき、

$y = -0^2 + 3(0) + 2 = 2$

$x = 1$ のとき、

$y = -1^2 + 3(1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$

したがって、定義域 $0 \le x \le 1$ における最大値は $4$ ( $x=1$ のとき) であり、最小値は $2$ ( $x=0$ のとき) です。

3. 最終的な答え

最大値: 4

最小値: 2