15以下の自然数全体の集合を全体集合$U$とする。$U$の部分集合$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$、$B = \{1, 4, 6, 7, 9\}$について、以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $n(A)$ (2) $n(B)$ (3) $n(A \cap B)$ (4) $n(A \cup B)$ (5) $n(\overline{A})$ (6) $n(\overline{B})$ (7) $n(\overline{A \cup B})$ (8) $n(A \cap \overline{B})$ (9) $n(\overline{A \cap B})$

1. 問題の内容

15以下の自然数全体の集合を全体集合$U$とする。$U$の部分集合$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$、$B = \{1, 4, 6, 7, 9\}$について、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $n(A)$

(2) $n(B)$

(3) $n(A \cap B)$

(4) $n(A \cup B)$

(5) $n(\overline{A})$

(6) $n(\overline{B})$

(7) $n(\overline{A \cup B})$

(8) $n(A \cap \overline{B})$

(9) $n(\overline{A \cap B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(A)$ は集合$A$の要素の個数を表します。$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$なので、$n(A) = 8$です。

(2) $n(B)$ は集合$B$の要素の個数を表します。$B = \{1, 4, 6, 7, 9\}$なので、$n(B) = 5$です。

(3) $n(A \cap B)$ は集合$A$と集合$B$の共通部分の要素の個数を表します。$A \cap B = \{1, 4, 7, 9\}$なので、$n(A \cap B) = 4$です。

(4) $n(A \cup B)$ は集合$A$と集合$B$の和集合の要素の個数を表します。

$A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 15\}$なので、$n(A \cup B) = 9$です。

または、以下の公式を使っても計算できます。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 8 + 5 - 4 = 9$

(5) $n(\overline{A})$ は集合$A$の補集合の要素の個数を表します。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$なので、$n(U) = 15$です。

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A) = 15 - 8 = 7$です。

(6) $n(\overline{B})$ は集合$B$の補集合の要素の個数を表します。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B) = 15 - 5 = 10$です。

(7) $n(\overline{A \cup B})$ は集合$A \cup B$の補集合の要素の個数を表します。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 15 - 9 = 6$です。

(8) $n(A \cap \overline{B})$ は集合$A$と集合$B$の補集合の共通部分の要素の個数を表します。

$\overline{B} = \{2, 3, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$

$A \cap \overline{B} = \{2, 8, 12, 15\}$なので、$n(A \cap \overline{B}) = 4$です。

(9) $n(\overline{A \cap B})$ は集合$A \cap B$の補集合の要素の個数を表します。

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B) = 15 - 4 = 11$です。

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) 5

(3) 4

(4) 9

(5) 7

(6) 10

(7) 6

(8) 4

(9) 11