## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

問題10: 和 $S = 1\cdot1 + 2\cdot2 + 3\cdot2^2 + \dots + n\cdot2^{n-1}$ を求めよ。

問題11: 正の偶数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表せ。

(2) 第10群に入るすべての数の和 $S$ を求めよ。

##

2. 解き方の手順

### 問題10

$S = 1\cdot1 + 2\cdot2 + 3\cdot2^2 + \dots + n\cdot2^{n-1}$に対して、

$2S = 1\cdot2 + 2\cdot2^2 + 3\cdot2^3 + \dots + (n-1)\cdot2^{n-1} + n\cdot2^n$

とすると、

$S - 2S = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} - n\cdot2^n$

$-S = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} - n\cdot2^n = 2^n - 1 - n\cdot2^n = (1-n)2^n - 1$

したがって、$S = (n-1)2^n + 1$

### 問題11

(1) 第 $n$ 群に入る最初の数を求める。

第 $n$ 群に入るまでの項数は $1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ である。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、正の偶数列の $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目の数である。

正の偶数列の $k$ 番目の数は $2k$ であるから、求める数は

$2\left(\frac{(n-1)n}{2} + 1\right) = n(n-1) + 2 = n^2 - n + 2$

(2) 第10群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

第10群の最初の数は $10^2 - 10 + 2 = 100 - 10 + 2 = 92$ である。

第10群には10個の数が入るので、第10群の数は

$92, 94, 96, \dots, 92 + 2(10-1) = 92 + 18 = 110$ である。

これは初項92, 末項110, 項数10の等差数列なので、その和は

$S = \frac{10}{2}(92 + 110) = 5(202) = 1010$

##

3. 最終的な答え

問題10: $S = (n-1)2^n + 1$

問題11:

(1) 第 $n$ 群の最初の数: $n^2 - n + 2$

(2) 第10群に入るすべての数の和: $1010$