白玉2個と黒玉4個が入った袋から、3個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数をXとする。Xの確率分布を求める。

1. 問題の内容

白玉2個と黒玉4個が入った袋から、3個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数をXとする。Xの確率分布を求める。

2. 解き方の手順

まず、3個の玉を取り出すすべての場合の数を求める。これは、6個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通りである。

次に、Xが取りうる値を考える。Xは黒玉の個数なので、0個、1個、2個、3個のいずれかである。それぞれの確率を計算する。

* X=0 (黒玉が0個、つまり白玉が3個):

白玉は2個しかないため、白玉3個を取り出すことは不可能。したがって、$P(X=0)=0$。

* X=1 (黒玉が1個、白玉が2個):

黒玉1個を選ぶ方法は $_4C_1 = 4$ 通り、白玉2個を選ぶ方法は $_2C_2 = 1$ 通り。

したがって、$P(X=1) = \frac{_4C_1 \times _2C_2}{_6C_3} = \frac{4 \times 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$。

* X=2 (黒玉が2個、白玉が1個):

黒玉2個を選ぶ方法は $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り、白玉1個を選ぶ方法は $_2C_1 = 2$ 通り。

したがって、$P(X=2) = \frac{_4C_2 \times _2C_1}{_6C_3} = \frac{6 \times 2}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$。

* X=3 (黒玉が3個、白玉が0個):

黒玉3個を選ぶ方法は $_4C_3 = 4$ 通り、白玉0個を選ぶ方法は $_2C_0 = 1$ 通り。

したがって、$P(X=3) = \frac{_4C_3 \times _2C_0}{_6C_3} = \frac{4 \times 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$。

3. 最終的な答え

$P(X=0) = 0$

$P(X=1) = \frac{1}{5}$

$P(X=2) = \frac{3}{5}$

$P(X=3) = \frac{1}{5}$