白玉4個と黒玉4個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数を $X$ とする。このとき、$P(X=1)$, $P(X=2)$, $P(X=3)$ を求めよ。

1. 問題の内容

白玉4個と黒玉4個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数を $X$ とする。このとき、$P(X=1)$, $P(X=2)$, $P(X=3)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、袋に入っている玉の総数は $4+4=8$ 個である。

この中から4個の玉を取り出すので、全部の取り出し方は ${}_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1} = 70$ 通りである。

次に、$X=1$ となる場合を考える。これは黒玉が1個、白玉が3個出る場合である。

黒玉1個の選び方は ${}_4C_1 = 4$ 通り、白玉3個の選び方は ${}_4C_3 = 4$ 通りである。

したがって、$P(X=1) = \frac{{}_4C_1 \times {}_4C_3}{{}_8C_4} = \frac{4 \times 4}{70} = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}$ となる。

次に、$X=2$ となる場合を考える。これは黒玉が2個、白玉が2個出る場合である。

黒玉2個の選び方は ${}_4C_2 = \frac{4\times3}{2\times1} = 6$ 通り、白玉2個の選び方は ${}_4C_2 = 6$ 通りである。

したがって、$P(X=2) = \frac{{}_4C_2 \times {}_4C_2}{{}_8C_4} = \frac{6 \times 6}{70} = \frac{36}{70} = \frac{18}{35}$ となる。

次に、$X=3$ となる場合を考える。これは黒玉が3個、白玉が1個出る場合である。

黒玉3個の選び方は ${}_4C_3 = 4$ 通り、白玉1個の選び方は ${}_4C_1 = 4$ 通りである。

したがって、$P(X=3) = \frac{{}_4C_3 \times {}_4C_1}{{}_8C_4} = \frac{4 \times 4}{70} = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}$ となる。

3. 最終的な答え

$P(X=1) = \frac{8}{35}$

$P(X=2) = \frac{18}{35}$

$P(X=3) = \frac{8}{35}$