白玉4個と黒玉2個が入った袋から、2個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数を$X$とします。$X$の確率分布を求めます。

1. 問題の内容

白玉4個と黒玉2個が入った袋から、2個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数を$X$とします。$X$の確率分布を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2個の玉を取り出す方法の総数を求めます。これは、6個の玉の中から2個を選ぶ組み合わせの数なので、

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り

となります。

次に、$X$が取りうる値は0, 1, 2の3通りです。それぞれの確率を計算します。

* $X = 0$のとき（黒玉が0個、つまり白玉を2個取り出す場合）：

白玉4個から2個を選ぶ組み合わせの数は

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り

よって、$P(X = 0) = \frac{_{4}C_{2}}{_{6}C_{2}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

* $X = 1$のとき（黒玉が1個、白玉が1個の場合）：

黒玉2個から1個を選ぶ組み合わせの数は$_{2}C_{1} = 2$通り

白玉4個から1個を選ぶ組み合わせの数は$_{4}C_{1} = 4$通り

よって、$P(X = 1) = \frac{_{2}C_{1} \times _{4}C_{1}}{_{6}C_{2}} = \frac{2 \times 4}{15} = \frac{8}{15}$

* $X = 2$のとき（黒玉が2個の場合）：

黒玉2個から2個を選ぶ組み合わせの数は$_{2}C_{2} = 1$通り

よって、$P(X = 2) = \frac{_{2}C_{2}}{_{6}C_{2}} = \frac{1}{15}$

したがって、$X$の確率分布は次のようになります。

$P(X = 0) = \frac{2}{5}$

$P(X = 1) = \frac{8}{15}$

$P(X = 2) = \frac{1}{15}$

3. 最終的な答え

$P(X = 0) = \frac{2}{5}, P(X = 1) = \frac{8}{15}, P(X = 2) = \frac{1}{15}$