白玉3個と黒玉3個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数を確率変数 $X$ とします。$X$ の確率分布を求める問題です。

1. 問題の内容

白玉3個と黒玉3個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数を確率変数 $X$ とします。$X$ の確率分布を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$X$ がとりうる値を考えます。4個の玉を取り出すので、黒玉の個数は0個から3個までの範囲です。つまり、$X = 0, 1, 2, 3$ です。それぞれの確率を計算します。

袋の中には合計6個の玉が入っており、そのうち4個を取り出すので、全部で ${}_6C_4$ 通りの取り出し方があります。${}_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ です。

次に、各 $X$ の値に対して、確率 $P(X=x)$ を求めます。

* $X = 0$ のとき：4個とも白玉を取り出す場合です。${}_3C_4$ 通りとなりますが、3個の白玉から4個を選ぶことはできないので0通りです。したがって $P(X=0) = 0$ となります。

* $X = 1$ のとき：黒玉1個と白玉3個を取り出す場合です。${}_3C_1 \times {}_3C_3 = 3 \times 1 = 3$ 通りです。したがって、$P(X=1) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ です。

* $X = 2$ のとき：黒玉2個と白玉2個を取り出す場合です。${}_3C_2 \times {}_3C_2 = 3 \times 3 = 9$ 通りです。したがって、$P(X=2) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ です。

* $X = 3$ のとき：黒玉3個と白玉1個を取り出す場合です。${}_3C_3 \times {}_3C_1 = 1 \times 3 = 3$ 通りです。したがって、$P(X=3) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ です。

確率分布は、それぞれの $X$ の値に対する確率をまとめたものです。

3. 最終的な答え

$X$ の確率分布は次の通りです。

$P(X=0) = 0$

$P(X=1) = \frac{1}{5}$

$P(X=2) = \frac{3}{5}$

$P(X=3) = \frac{1}{5}$