白玉1個と黒玉3個が入った袋から、同時に2個の玉を取り出す。取り出した黒玉の個数を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の確率分布を求めよ。

1. 問題の内容

白玉1個と黒玉3個が入った袋から、同時に2個の玉を取り出す。取り出した黒玉の個数を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の確率分布を求めよ。

2. 解き方の手順

確率変数 $X$ がとりうる値は、0, 1, 2である。それぞれの確率を計算する。

袋の中にある玉の総数は4個であり、そこから2個を取り出す組み合わせの総数は ${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りである。

(i) $X = 0$ のとき（黒玉を0個取り出す場合）

これは、白玉1個と白玉以外の玉（つまり存在しない）を選ぶ場合に相当する。白玉1個を取り出す組み合わせは ${}_1C_2$ ではないことに注意。

白玉1個と黒玉0個を取り出す場合は白玉2個を選ぶ必要があるが、白玉は1個しかないので確率は0になる。白玉しか取り出せないから、$X=0$になることはない。

白玉を1個、もう一つはなしで2個取り出すことは不可能。

よって、$P(X=0) = 0$ ではなく、$P(X=0) = \frac{{}_1C_2}{{}_4C_2}$と書ける。しかし${}_1C_2$は1個から2個取り出す意味ないので、$P(X=0) = \frac{0}{6} = 0$と書ける。しかし、これは問題文の理解に誤りがある。問題文通りに解くと、$P(X=0) = \frac{{}_1C_1 \times {}_3C_1}{{}_4C_2} = \frac{1}{6}$

別解としては、白玉1個と黒玉3個の中から2個取り出すとき、黒玉が0個ということは2個とも白玉でなくてはならない。白玉は1個しかないため、白玉2個を取り出すことはできない。したがって、$P(X=0)=0$となる。

(ii) $X = 1$ のとき（黒玉を1個取り出す場合）

これは、白玉1個と黒玉1個を選ぶ場合に相当する。

白玉1個を選ぶ組み合わせは ${}_1C_1 = 1$ 通り。

黒玉3個から1個を選ぶ組み合わせは ${}_3C_1 = 3$ 通り。

したがって、白玉1個と黒玉1個を選ぶ組み合わせは $1 \times 3 = 3$ 通り。

よって、$P(X=1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

(iii) $X = 2$ のとき（黒玉を2個取り出す場合）

これは、黒玉3個から2個を選ぶ場合に相当する。

黒玉3個から2個を選ぶ組み合わせは ${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

よって、$P(X=2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

確率分布は以下のようになる。

| X | 0 | 1 | 2 |

|---|---|---|---|

| P(X) | 0 | 1/2 | 1/2 |

最終的な答えを記入する際、0になる確率については、問題文の解釈によって異なる可能性がある。ここでは、上記の計算に基づいて記述する。

3. 最終的な答え

| X | 0 | 1 | 2 |

|---|---|---|---|

| P(X) | 0 | 1/2 | 1/2 |