袋の中に白玉1個と黒玉3個が入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、取り出した黒玉の個数を確率変数$X$とする。$X$の確率分布を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉1個と黒玉3個が入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、取り出した黒玉の個数を確率変数$X$とする。$X$の確率分布を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$が取りうる値を考える。取り出す玉は2個なので、黒玉の個数$X$は0, 1, 2のいずれかである。

次に、それぞれの$X$の値に対する確率を計算する。

袋の中には合計4個の玉があるので、2個を取り出す組み合わせの総数は ${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りである。

(1) $X=0$ (黒玉を0個取り出す、つまり白玉を2個取り出す) の確率

白玉は1個しかないので、白玉を2個取り出すことは不可能である。したがって、$P(X=0) = 0$。

(2) $X=1$ (黒玉を1個取り出す) の確率

白玉1個と黒玉1個を取り出す組み合わせの数は ${}_1 C_1 \times {}_3 C_1 = 1 \times 3 = 3$ 通り。

したがって、$P(X=1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

(3) $X=2$ (黒玉を2個取り出す) の確率

黒玉2個を取り出す組み合わせの数は ${}_3 C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

したがって、$P(X=2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

以上の結果をまとめると、確率分布は以下のようになる。

| $X$ | 0 | 1 | 2 |

|---|---|---|---|

| $P(X)$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |

3. 最終的な答え

$X$の確率分布は以下の通りである。

| $X$ | 0 | 1 | 2 |

|---|---|---|---|

| $P(X)$ | 0 | 1/2 | 1/2 |