白玉4個と黒玉3個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数をXとする。Xの確率分布を求める問題です。つまり、Xが0, 1, 2, 3である確率 $P(X=0)$, $P(X=1)$, $P(X=2)$, $P(X=3)$ を求める必要があります。

1. 問題の内容

白玉4個と黒玉3個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数をXとする。Xの確率分布を求める問題です。つまり、Xが0, 1, 2, 3である確率 $P(X=0)$, $P(X=1)$, $P(X=2)$, $P(X=3)$ を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、4個の玉を同時に取り出す場合の総数を計算します。これは、7個の玉から4個を選ぶ組み合わせなので、$_7C_4$ で計算できます。

$_7C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

次に、Xが0, 1, 2, 3である確率をそれぞれ計算します。

* $P(X=0)$: 黒玉が0個ということは、白玉が4個選ばれるということ。白玉4個から4個選ぶ組み合わせは $_4C_4 = 1$ 通り。したがって、$P(X=0) = \frac{_4C_4}{_7C_4} = \frac{1}{35}$

* $P(X=1)$: 黒玉が1個、白玉が3個選ばれるということ。黒玉3個から1個選ぶ組み合わせは $_3C_1 = 3$ 通り。白玉4個から3個選ぶ組み合わせは $_4C_3 = 4$ 通り。したがって、$P(X=1) = \frac{_3C_1 \times _4C_3}{_7C_4} = \frac{3 \times 4}{35} = \frac{12}{35}$

* $P(X=2)$: 黒玉が2個、白玉が2個選ばれるということ。黒玉3個から2個選ぶ組み合わせは $_3C_2 = 3$ 通り。白玉4個から2個選ぶ組み合わせは $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。したがって、$P(X=2) = \frac{_3C_2 \times _4C_2}{_7C_4} = \frac{3 \times 6}{35} = \frac{18}{35}$

* $P(X=3)$: 黒玉が3個、白玉が1個選ばれるということ。黒玉3個から3個選ぶ組み合わせは $_3C_3 = 1$ 通り。白玉4個から1個選ぶ組み合わせは $_4C_1 = 4$ 通り。したがって、$P(X=3) = \frac{_3C_3 \times _4C_1}{_7C_4} = \frac{1 \times 4}{35} = \frac{4}{35}$

3. 最終的な答え

$P(X=0) = \frac{1}{35}$

$P(X=1) = \frac{12}{35}$

$P(X=2) = \frac{18}{35}$

$P(X=3) = \frac{4}{35}$

したがって、答えは5です。