確率変数 $X$ の確率分布が与えられており、$X$ の期待値が $\frac{16}{5}$ であるとき、$p$ と $q$ の値を求める問題です。 | $X$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 計 | |---|---|---|---|---|---|---| | $P$ | $p$ | $q$ | $p$ | $p$ | $q$ | 1 |

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率分布が与えられており、$X$ の期待値が $\frac{16}{5}$ であるとき、$p$ と $q$ の値を求める問題です。

| $X$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 計 |

|---|---|---|---|---|---|---|

| $P$ | $p$ | $q$ | $p$ | $p$ | $q$ | 1 |

2. 解き方の手順

(1) 確率の合計は1であることから、以下の式が成り立ちます。

$p + q + p + p + q = 1$

$3p + 2q = 1$

(2) $X$ の期待値は $\frac{16}{5}$ であることから、以下の式が成り立ちます。

$1 \cdot p + 2 \cdot q + 3 \cdot p + 4 \cdot p + 5 \cdot q = \frac{16}{5}$

$p + 2q + 3p + 4p + 5q = \frac{16}{5}$

$8p + 7q = \frac{16}{5}$

(3) (1)と(2)の式から連立方程式を解きます。

$3p + 2q = 1$ ...(1)

$8p + 7q = \frac{16}{5}$ ...(2)

(1) $\times 7$ より

$21p + 14q = 7$ ...(3)

(2) $\times 2$ より

$16p + 14q = \frac{32}{5}$ ...(4)

(3) - (4) より

$21p - 16p = 7 - \frac{32}{5}$

$5p = \frac{35}{5} - \frac{32}{5}$

$5p = \frac{3}{5}$

$p = \frac{3}{25}$

(4) $p = \frac{3}{25}$ を(1)に代入して、$q$を求めます。

$3 \cdot \frac{3}{25} + 2q = 1$

$\frac{9}{25} + 2q = 1$

$2q = 1 - \frac{9}{25}$

$2q = \frac{25}{25} - \frac{9}{25}$

$2q = \frac{16}{25}$

$q = \frac{8}{25}$

3. 最終的な答え

$p = \frac{3}{25}$

$q = \frac{8}{25}$