確率変数 $X$ の確率分布が表で与えられており、$X$ の期待値が3である。表中の $p$ と $q$ の値を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率分布が表で与えられており、$X$ の期待値が3である。表中の $p$ と $q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、確率の合計は1であることから、次の式が成り立つ。

$p + 2q + q + \frac{1}{5} + q = 1$

整理すると、

$p + 4q = \frac{4}{5}$

次に、$X$ の期待値が3であることから、次の式が成り立つ。

$1 \cdot p + 2 \cdot 2q + 3 \cdot q + 4 \cdot \frac{1}{5} + 5 \cdot q = 3$

整理すると、

$p + 4q + 3q + 5q = 3 - \frac{4}{5}$

$p + 12q = \frac{11}{5}$

2つの式を連立方程式として解く。

$p + 4q = \frac{4}{5}$

$p + 12q = \frac{11}{5}$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$8q = \frac{7}{5}$

$q = \frac{7}{40}$

$q = \frac{7}{40}$ を最初の式に代入すると、

$p + 4 \cdot \frac{7}{40} = \frac{4}{5}$

$p + \frac{7}{10} = \frac{8}{10}$

$p = \frac{1}{10}$

したがって、$p = \frac{1}{10}$、$q = \frac{7}{40}$

3. 最終的な答え

$p = \frac{1}{10}$

$q = \frac{7}{40}$