白玉4個と黒玉4個が入った袋から、3個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数をXとする。Xの確率分布を求めよ。

1. 問題の内容

白玉4個と黒玉4個が入った袋から、3個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数をXとする。Xの確率分布を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、Xがとりうる値を考える。3個取り出すので、黒玉の個数は0個、1個、2個、3個のいずれかになる。それぞれの確率を計算する。

全事象は8個から3個を取り出す組み合わせなので、$_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り。

(1) X=0のとき（黒玉が0個）：

これは白玉を3個取り出す組み合わせなので、$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$通り。

したがって、$P(X=0) = \frac{4}{56} = \frac{1}{14}$

(2) X=1のとき（黒玉が1個）：

黒玉を1個、白玉を2個取り出す組み合わせなので、$_4C_1 \times _4C_2 = 4 \times \frac{4!}{2!2!} = 4 \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 4 \times 6 = 24$通り。

したがって、$P(X=1) = \frac{24}{56} = \frac{3}{7}$

(3) X=2のとき（黒玉が2個）：

黒玉を2個、白玉を1個取り出す組み合わせなので、$_4C_2 \times _4C_1 = \frac{4!}{2!2!} \times 4 = 6 \times 4 = 24$通り。

したがって、$P(X=2) = \frac{24}{56} = \frac{3}{7}$

(4) X=3のとき（黒玉が3個）：

黒玉を3個取り出す組み合わせなので、$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$通り。

したがって、$P(X=3) = \frac{4}{56} = \frac{1}{14}$

確率分布は以下のようになる。

| X | 0 | 1 | 2 | 3 |

|---|----------|----------|----------|----------|

| P(X) | 1/14 | 3/7 | 3/7 | 1/14 |

3. 最終的な答え

Xの確率分布は以下の通りです。

| X | 0 | 1 | 2 | 3 |

|---|----------|----------|----------|----------|

| P(X) | 1/14 | 3/7 | 3/7 | 1/14 |