白玉6個と黒玉2個が入った袋から、3個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数をXとする。Xの確率分布を求めよ。

1. 問題の内容

白玉6個と黒玉2個が入った袋から、3個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数をXとする。Xの確率分布を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、Xがとりうる値を考えます。黒玉は最大2個しか入っていないので、取り出す3個の中に黒玉が0個、1個、2個の場合が考えられます。したがって、Xのとりうる値は0, 1, 2です。

次に、それぞれの場合の確率を計算します。

袋の中には合計8個の玉が入っています。3個の玉の取り出し方は全部で ${}_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通りです。

(i) X=0 (黒玉が0個の場合):

3個とも白玉を取り出す場合です。白玉6個から3個を取り出す組み合わせは ${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通りです。

したがって、P(X=0) = $\frac{{}_6C_3}{{}_8C_3} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

(ii) X=1 (黒玉が1個の場合):

黒玉1個と白玉2個を取り出す場合です。黒玉2個から1個を取り出す組み合わせは ${}_2C_1 = 2$ 通りです。白玉6個から2個を取り出す組み合わせは ${}_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

したがって、P(X=1) = $\frac{{}_2C_1 \times {}_6C_2}{{}_8C_3} = \frac{2 \times 15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$

(iii) X=2 (黒玉が2個の場合):

黒玉2個と白玉1個を取り出す場合です。黒玉2個から2個を取り出す組み合わせは ${}_2C_2 = 1$ 通りです。白玉6個から1個を取り出す組み合わせは ${}_6C_1 = 6$ 通りです。

したがって、P(X=2) = $\frac{{}_2C_2 \times {}_6C_1}{{}_8C_3} = \frac{1 \times 6}{56} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$

以上の結果から、Xの確率分布は次のようになります。

| X | 0 | 1 | 2 |

|---|---|---|---|

| P(X) | 5/14 | 15/28 | 3/28 |

3. 最終的な答え

| X | 0 | 1 | 2 |

|---|---|---|---|

| P(X) | 5/14 | 15/28 | 3/28 |