白玉と赤玉がそれぞれ3個ずつ入った袋から、3個の玉を同時に取り出す。このとき、取り出した白玉の個数を確率変数$X$とする。$X$の期待値$E(X)$を求めよ。

1. 問題の内容

白玉と赤玉がそれぞれ3個ずつ入った袋から、3個の玉を同時に取り出す。このとき、取り出した白玉の個数を確率変数$X$とする。$X$の期待値$E(X)$を求めよ。

2. 解き方の手順

$X$が取りうる値は0, 1, 2, 3である。それぞれの確率を計算し、期待値$E(X)$を求める。

* $X=0$のとき、3個とも赤玉を取り出す確率$P(X=0)$は、

$P(X=0) = \frac{{}_3C_3}{{}_6C_3} = \frac{1}{20}$

* $X=1$のとき、白玉1個、赤玉2個を取り出す確率$P(X=1)$は、

$P(X=1) = \frac{{}_3C_1 \times {}_3C_2}{{}_6C_3} = \frac{3 \times 3}{20} = \frac{9}{20}$

* $X=2$のとき、白玉2個、赤玉1個を取り出す確率$P(X=2)$は、

$P(X=2) = \frac{{}_3C_2 \times {}_3C_1}{{}_6C_3} = \frac{3 \times 3}{20} = \frac{9}{20}$

* $X=3$のとき、3個とも白玉を取り出す確率$P(X=3)$は、

$P(X=3) = \frac{{}_3C_3}{{}_6C_3} = \frac{1}{20}$

期待値$E(X)$は、

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

$= 0 \times \frac{1}{20} + 1 \times \frac{9}{20} + 2 \times \frac{9}{20} + 3 \times \frac{1}{20}$

$= 0 + \frac{9}{20} + \frac{18}{20} + \frac{3}{20}$

$= \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$