硬貨を2回投げ、表が出たら2点、裏が出たら-1点とする。このときの合計得点を $X$ とする。また、同時にサイコロを投げ、出た目の数を $Y$ とする。このとき、$XY$ の期待値 $E[XY]$ を求めよ。

1. 問題の内容

硬貨を2回投げ、表が出たら2点、裏が出たら-1点とする。このときの合計得点を $X$ とする。また、同時にサイコロを投げ、出た目の数を $Y$ とする。このとき、$XY$ の期待値 $E[XY]$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の取りうる値とその確率を考える。

- 2回とも表が出た場合: $X = 2 + 2 = 4$。確率は $P(X=4) = (1/2)(1/2) = 1/4$

- 1回表、1回裏が出た場合: $X = 2 + (-1) = 1$。確率は $P(X=1) = (1/2)(1/2) + (1/2)(1/2) = 1/2$

- 2回とも裏が出た場合: $X = (-1) + (-1) = -2$。確率は $P(X=-2) = (1/2)(1/2) = 1/4$

したがって、$X$ の確率分布は次のようになる。

$P(X=4) = 1/4$

$P(X=1) = 1/2$

$P(X=-2) = 1/4$

次に、$X$ の期待値 $E[X]$ を計算する。

$E[X] = 4 * (1/4) + 1 * (1/2) + (-2) * (1/4) = 1 + 1/2 - 1/2 = 1$

$Y$ はサイコロの出た目の数なので、取りうる値は 1, 2, 3, 4, 5, 6 であり、それぞれの確率は $1/6$ である。

したがって、$Y$ の期待値 $E[Y]$ は次のようになる。

$E[Y] = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21 / 6 = 7/2 = 3.5$

$X$ と $Y$ は独立な確率変数であるため、$XY$ の期待値はそれぞれの期待値の積で求められる。

$E[XY] = E[X] * E[Y] = 1 * (7/2) = 7/2$

3. 最終的な答え

$E[XY] = 7/2 = 3.5$