平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないとする。これらの $n$ 本の直線が平面を $a_n$ 個の部分に分けるとき、$a_n$ を $n$ の式で表せ。

1. 問題の内容

平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないとする。これらの $n$ 本の直線が平面を $a_n$ 個の部分に分けるとき、$a_n$ を $n$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

まず、$n=1$ のとき、直線が1本なので、平面は2つの部分に分かれる。したがって、$a_1=2$ である。

次に、$n=2$ のとき、2本の直線は平行ではなく、1点で交わるので、平面は4つの部分に分かれる。したがって、$a_2=4$ である。

$n=3$ のとき、3本の直線はどの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないので、平面は7つの部分に分かれる。したがって、$a_3=7$ である。

$n=k$ 本の直線があるとき、平面が $a_k$ 個の部分に分かれているとする。

ここに、$k+1$ 本目の直線を追加すると、この直線はすでに存在している $k$ 本の直線とそれぞれ交わる。

どの2本の直線も平行ではないので、$k$ 本の直線と、$k$ 個の異なる点で交わる。

また、どの3本の直線も1点で交わらないので、$k$ 個の交点はすべて異なる点である。

この $k+1$ 本目の直線は、$k$ 個の交点によって、$k+1$ 個の線分（または半直線）に分割される。

それぞれの線分（または半直線）は、平面の既存の領域を2つに分割する。

したがって、$k+1$ 本目の直線を追加すると、平面の分割数は $k+1$ だけ増加する。

したがって、漸化式は次のようになる。

$a_{k+1} = a_k + (k+1)$

この漸化式を解く。

$a_1 = 2$

$a_2 = a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$

$a_3 = a_2 + 3 = 4 + 3 = 7$

$a_4 = a_3 + 4 = 7 + 4 = 11$

$a_n = a_{n-1} + n$

$a_n = a_{n-2} + (n-1) + n$

$a_n = a_1 + 2 + 3 + ... + n$

$a_n = 2 + \sum_{k=2}^{n} k$

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n} k$

$a_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2}$

$a_n = \frac{n^2 + n + 2}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^2 + n + 2}{2}$