10本のくじがあり、そのうち3本が当たりくじです。AとBが順番に、引いたくじを元に戻さずに1本ずつ引きます。Aが引いた当たりくじの本数を$X$、Bが引いた当たりくじの本数を$Y$とします。このとき、$X + 2Y$の期待値を求めなさい。

1. 問題の内容

10本のくじがあり、そのうち3本が当たりくじです。AとBが順番に、引いたくじを元に戻さずに1本ずつ引きます。Aが引いた当たりくじの本数を$X$、Bが引いた当たりくじの本数を$Y$とします。このとき、$X + 2Y$の期待値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$X$の期待値$E[X]$を求めます。Aが当たりくじを引く確率は$3/10$なので、$E[X] = 3/10$です。

次に、$Y$の期待値$E[Y]$を求めます。Bが当たりくじを引く確率は、Aが当たりを引いた場合と、Aが外れを引いた場合で場合分けして考えます。

* Aが当たりを引いた場合、残りの9本のうち当たりくじは2本なので、Bが当たりを引く確率は$2/9$です。Aが当たりを引く確率は$3/10$なので、この場合のBが当たりを引く確率は$(3/10) \times (2/9) = 6/90$です。

* Aが外れを引いた場合、残りの9本のうち当たりくじは3本なので、Bが当たりを引く確率は$3/9$です。Aが外れを引く確率は$7/10$なので、この場合のBが当たりを引く確率は$(7/10) \times (3/9) = 21/90$です。

したがって、Bが当たりくじを引く確率（つまり$E[Y]$）は、$6/90 + 21/90 = 27/90 = 3/10$となります。

$E[Y]=3/10$

最後に、$X + 2Y$の期待値$E[X + 2Y]$を求めます。期待値の線形性より、$E[X + 2Y] = E[X] + 2E[Y]$です。

$E[X+2Y] = E[X] + 2E[Y] = 3/10 + 2(3/10) = 3/10 + 6/10 = 9/10$

3. 最終的な答え

$X + 2Y$の期待値は$9/10$です。